理学部まど科

ほむオタク

まどマギに出てきた数学の問題とちょっとした解説

まどマギ 数学

見滝原の数学はレベルが高い。

理学部なんて名前つけてるし少しくらいそれっぽいことやろうかと思った。僕は物理学科なんだけど。

Twitterで一度晒している問題なのでご了承を。

問: pは素数、nは自然数とします。\\ (1+n)^{p}-n^{p}-1がpで割り切れることを証明してください。

範囲としては数A、だいたい高校1年生でやる内容だ。ほむらたちって中2でしょ、中高一貫の進学校かな？

解くほむら

解いてるほむらちゃんの図

ここでほむらちゃんの解答が見えてるって？？？？

うるせ～～～～～

しらね～～～～～

魔法少女まどか☆マ

　　　　　　　ギカ

解答

二項定理を用いて展開する。

(1+n)^{p}=1^p + {}_p \mathrm{C} _1 n + {}_p \mathrm{C} _2 n^2 + \dots +{}_p \mathrm{C} _{p-1} n^{p-1}+ {}_p \mathrm{C} _p n^p\\ =  1 + n^p + pn +\cfrac{p(p-1)}{2} n^2 + \dots +pn^{p-1} \\ =  1 + n^p + p( n + \cfrac{p-1}{2} n^2 + \dots + n^{p-1} )

これより

(与式)= 1 + n^p + p( n + \cfrac{p-1}{2} n^2 + \dots + n^{p-1} )-n^{p}-1 \\ =p( n + \cfrac{p-1}{2} n^2 + \dots + n^{p-1} )

したがって

n + \cfrac{p-1}{2} n^2 + \dots + n^{p-1}

が整数となれば良い。すなわち、

(1+n)^{p}の展開式の第r項目(2 \leq r \leq n-1)の係数をpで割ったとき整数となることを示す。

その係数について{}_p \mathrm{C} _r = \cfrac{p!}{(p-r)!r!} = \cfrac{p(p-1)!}{(p-r)!r!} \in \mathbb{Z} \\ pは素数だから分母がpを割り切ることはない。\\ よって\cfrac{(p-1)!}{(p-r)!r!} \in \mathbb{Z}となり、 (1+n)^{p}-n^{p}-1はpで割り切れる。

 

解説

何乗～～って出てきたらとりあえず二項定理で展開しよう！って感じの問題。その感覚を大事にすれば一瞬でイケる。いけない。ここでひっかかるのは後半でやった残った部分がpで割り切れることの説明だと思う。知り合いもそう言ってた、僕は自明でもいいと思ったけど。出てきたあの二項係数で使うコンビネーションとかいうやつはまあ定義というか最初に持ち出してきた経緯からして整数なのはわかるでしょう。上にも書いたとおり

{}_p \mathrm{C} _r = \cfrac{p!}{(p-r)!r!}\in \mathbb{Z}

となる。右辺は定義式(？)である。素数は1とその数以外では割り切れない数である。すなわちpがどんな素数であってもいろいろやって約分しても残っているわけだ。信じられないというのかい？(QB)

実験してみましょう。

p=5,r=2 \\ {}_5 \mathrm{C} _2 = \cfrac{5!}{(5-2)!2!}=\cfrac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1  }{3!2!}=\cfrac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1  }{3 \times 2 \times 1 \times 2 \times 1}\in \mathbb{Z}

ほら、pに設定した5が残るでしょう。他にもやってみるとよい。つまり題意は示されるってわけ。完